O Xadrez e a Covid-19: o que é crescimento exponencial

A história do jogo de xadrez está envolta em lendas. Uma delas nos ajuda a compreender como a COVID-19 ameaça o Brasil com uma grande catástrofe. Trata-se da lenda do presente que o rei Sheram quis dar a Seta, o inventor do jogo.

Diz a estória que o rei Sheram ficou encantado com o jogo de xadrez. Quando soube que ele havia sido inventado por um dos seus súditos, mandou chamá-lo para lhe dar um presente. Quando ele chegou, na presença dos seus áulicos, disse com pompa e circunstância:

– “Seta, sua invenção é maravilhosa, por isto quero lhe dar um presente. Qualquer coisa que você quiser. Peça e será atendido” – jactou-se o rei.

Modesto, Seta agradeceu. Não queria nada. No entanto, como o rei insistiu, apresentou seu singelo pedido:

– “Senhor, já que Vossa Majestade insiste em me presentear, então peço que Vossa Majestade me pague com arroz. Gostaria de receber um grão de arroz para a primeira casa do tabuleiro; mais dois grãos de arroz pela segunda casa; mais quatro grãos de arroz pela terceira casa; mais oito grãos de arroz pela quarta casa, e assim sucessivamente até a última casa.

O rei chamou o matemático da corte e mandou que calculasse a quantidade de arroz que o almoxarife real deveria entregar a Seta imediatamente.

O matemático gastou dias calculando. Finalmente, se apresentou ao rei com más notícias:

– “Majestade, a quantidade de arroz que Vossa Majestade concordou em dar de presente ao seu súdito Seta não existe mesmo se juntarmos todos os celeiros do mundo. Mesmo se todo o Planeta Terra fosse convertido em plantação de arroz, incluindo os continentes, os oceanos, as calotas polares, as florestas, as lagoas, tudo, mas tudo mesmo… mesmo assim não seria possível pagar a promessa. A quantidade de grãos de arroz que Vossa Majestade prometeu entregar a Seta soma 18.446.744.073.709.551.616. Isto significa dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil, seiscentos e dezesseis grãos de arroz.”

Os hindus não tinham carretas de 45 toneladas, mas se tivessem, o matemático poderia ter tido que o rei ia precisar de 11 bilhões de carretas para transportar o presente!

Confira você mesmo

Você pode reproduzir a conta feita pelo matemático: coloque 1 grão na primeira casa, 2 grãos na segunda; 4 grãos na terceira; 8 grãos na quarta e assim sucessivamente. Com um quilo de arroz você talvez chegue à casa 15. Para encher a 16 vai precisar de mais 1 kg. Para chegar à 17, mais 2 kg… Para chegar na casa 30 vai precisar de uma carreta cheia de arroz.

Você vai se cansar logo. Mas, para facilitar, pode usar a matemática. Para saber quantos grãos você precisa para preencher até determinada casa basta fazer a conta 2^x-1. O x é o número da casa. Por exemplo, para a primeira casa, 2¹-1 = 1; para a 10ª casa, 2¹⁰-1 = 1023. Para saber o total de grãos até a casa, a conta é 2^(x-1). Exemplo, quantos grãos teremos que colocar na casa 30? 2^(30-1) = 536.870.912. Qual o total de grãos até esta casa? 2³⁰-1 = 1.073.741.823.

A função exponencial

Com a chegada do novo coronavírus, todos os dias temos ouvido falar em crescimento exponencial. A lenda do presente do rei Sheram exemplifica como é o crescimento exponencial. Ele começa devagar, quase imperceptível e de repente parece que explode. Aí é um deus nos acuda.

Numa epidemia como a do coronavírus o espalhamento da doença acontece da mesma forma: cada dia que passa, o número aumenta de forma cada vez mais rápida.Quanto mais contágio por dia, mais rápido o crescimento ou espalhamento da doença.

O contágio do coronavírus se dá principalmente por contato de pessoa a pessoa. Algumas vezes acontece por contato com objetos que o doente pegou ou encostou. Por isto o afastamento social desacera o espalhamento e as aglomerações o aceleram.

Coronavírus no Brasil

No Brasil a expansão do coronavírus ainda não entrou na fase explosiva. No entanto, estamos chegando perto. Os números indicam que em mais duas semanas estaremos no meio do furacão. Isto pode ser constatado no quadro ao lado que mostra o avanço da doença no Brasil.

Neste quadro, do dia 1 ao dia 58, estamos trabalhando com números oficiais. Do dia 59 ao dia 70 estamos trabalhando com projeção baseada no crescimento dos últimos quatro dias.

Projeção

Projeção não é adivinhação, mas sim a aplicação da matemática para prever o que acontecerá nos próximos dias se nada mudar. É importante destacar que é se nada mudar. Ou seja, se aumentar o afastamento teremos uma diminuição de casos; se não houver, teremos um aumento.

No Brasil, nos últimos dias a taxa de crescimento foi de 6,37% ao dia. A taxa de aumento da mortalidade foi de 7,7% ao dia. Com base nestes números calculamos o que acontecerá entre hoje e o 70º dia da epidemia. Ou seja, o dia 5 de maio.

Repito que projeção não é adivinhação. Trata-se de um cálculo feito com base nos fatos conhecidos. Se o comportamento das pessoas mudar, os resultados também mudarão. Portanto, se no dia 5 de maio a situação estará pior ou melhor do que o projetado, isto vai depender do comportamento de cada um de nós.

O Brasil está mal?

Embora algumas autoridades mostrem tranquilidade, a situação do Brasil não está nada boa. Pelo menos se nos compararmos com Espanha, Estados Unidos e outros países. É bom lembrar que estamos no 58º dia desde o primeiro caso. Enquanto isto, os Estados Unidos estão no 92º dia e a Espanha, no 84º dia.

Somente daqui a 33 dias estaremos nas mesmas condições em que os Estados Unidos estão hoje. Ainda levaremos um mês para chegarmos lá, mas podemos fazer uma projeção usando os números que temos: Até o 92º dia, com as taxas atuais, teremos 380 mil contaminados e 39 mil mortos. Portanto, um cenário nada bom. Só que pode ser bem pior, se o afastamento social não for mantido.

Observe os números do tabuleiro do xadrez e os números da evolução da doença no Brasil. Ambos seguem o mesmo padrão. Nossa sorte é que, na lenda do xadrez, a taxa de crescimento é de 100% por quadrícula. O nosso caso, a epidemia está com taxa de espalhamento de 6,37% ao dia. O que cada um de nós fizer nos próximos dias determinará se ficaremos com este valor (já muito ruim), se vamos melhorar, ou se vamos piorar.

Hoje estamos vendo algumas autoridades pregarem tranquilidade. O risco é que estejam sofrendo da mesma arrogância baseada na ignorância que levou o rei Sheram a prometer dar a Seta todo o arroz que ele havia pedido.

A diferença é que, na lenda, ele ficou devendo arroz. No avanço da COVID-19 o risco é termos um monte de caixões enterrados em valas comuns.

Vida, porém, ninguém repõe.

 

Grãos de arroz no tabuleiro de Xadrez

Casa	Grãos por casa	Total de grãos
1	1	1
2	2	3
3	4	7
4	8	15
5	16	31
6	32	63
7	64	127
8	128	255
9	256	511
10	512	1.023
11	1.024	2.047
12	2.048	4.095
13	4.096	8.191
14	8.192	16.383
15	16.384	32.767
16	32.768	65.535
17	65.536	131.071
18	131.072	262.143
19	262.144	524.287
20	524.288	1.048.575
21	1.048.576	2.097.151
22	2.097.152	4.194.303
23	4.194.304	8.388.607
24	8.388.608	16.777.215
25	16.777.216	33.554.431
26	33.554.432	67.108.863
27	67.108.864	134.217.727
28	134.217.728	268.435.455
29	268.435.456	536.870.911
30	536.870.912	1.073.741.823
31	1.073.741.824	2.147.483.647
32	2.147.483.648	4.294.967.295
33	4.294.967.296	8.589.934.591
34	8.589.934.592	17.179.869.183
35	17.179.869.184	34.359.738.367
36	34.359.738.368	68.719.476.735
37	68.719.476.736	137.438.953.471
38	137.438.953.472	274.877.906.943
39	274.877.906.944	549.755.813.887
40	549.755.813.888	1.099.511.627.775
41	1.099.511.627.776	2.199.023.255.551
42	2.199.023.255.552	4.398.046.511.103
43	4.398.046.511.104	8.796.093.022.207
44	8.796.093.022.208	17.592.186.044.415
45	17.592.186.044.416	35.184.372.088.831
46	35.184.372.088.832	70.368.744.177.663
47	70.368.744.177.664	140.737.488.355.327
48	140.737.488.355.328	281.474.976.710.655
49	281.474.976.710.656	562.949.953.421.311
50	562.949.953.421.312	1.125.899.906.842.623
51	1.125.899.906.842.624	2.251.799.813.685.247
52	2.251.799.813.685.248	4.503.599.627.370.495
53	4.503.599.627.370.496	9.007.199.254.740.991
54	9.007.199.254.740.992	18.014.398.509.481.984
55	18.014.398.509.481.984	36.028.797.018.963.968
56	36.028.797.018.963.968	72.057.594.037.927.936
57	72.057.594.037.927.936	144.115.188.075.855.872
58	144.115.188.075.855.872	288.230.376.151.711.744
59	288.230.376.151.711.744	576.460.752.303.423.488
60	576.460.752.303.423.488	1.152.921.504.606.846.976
61	1.152.921.504.606.846.976	2.305.843.009.213.693.952
62	2.305.843.009.213.693.952	4.611.686.018.427.387.904
63	4.611.686.018.427.387.904	9.223.372.036.854.775.808
64	9.223.372.036.854.775.808	18.446.744.073.709.551.616

 

 

Evolução da Covid-19 no Brasil (26.02.2020)

Dia	Contaminados por dia	Total de contaminados	Mortos por dia	Total de mortos
1	1	1	0	0
2	0	1	0	0
3	0	1	0	0
4	1	2	0	0
5	0	2	0	0
6	0	2	0	0
7	0	2	0	0
8	1	3	0	0
9	5	8	0	0
10	6	14	0	0
11	5	19	0	0
12	5	24	0	0
13	7	31	0	0
14	4	35	0	0
15	19	54	0	0
16	38	92	0	0
17	21	113	0	0
18	36	149	0	0
19	87	236	0	0
20	63	299	0	0
21	51	350	1	1
22	184	534	3	4
23	130	664	3	7
24	335	999	4	11
25	210	1.209	7	18
26	386	1.595	7	25
27	346	1.941	0	25
28	324	2.265	21	46
29	310	2.575	11	57
30	423	2.998	20	77
31	481	3.479	15	92
32	466	3.945	19	111
33	392	4.337	25	136
34	335	4.672	4	140
35	1.166	5.838	61	201
36	1.099	6.937	39	240
37	1.107	8.044	84	324
38	1.193	9.237	35	359
39	1.041	10.278	72	431
40	986	11.264	55	486